Funzione esponenziale

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La funzione esponenziale è una delle più importanti funzioni in matematica, definita per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali.

La sua proprietà fondamentale è che la derivata della funzione esponenziale f(x) = e^x è se stessa.

A volte, specialmente nelle scienze, si indicano come funzioni esponenziali tutte quelle della forma ka^x, dove a, chiamato base, è un numero reale positivo. Questa voce si concentrerà inizialmente sulla funzione esponenziale di base e.

Indice

1 Definizione grafica
2 Definizione formale
- 2.1 Equivalenza delle definizioni
- 2.2 Derivata della funzione esponenziale
3 Funzione esponenziale e potenze
4 Proprietà
5 Importanza della funzione esponenziale (derivata)
- 5.1 Esempio fisico di funzione esponenziale
- 5.2 Formulazioni equivalenti
6 Calcolo numerico
7 Funzione esponenziale complessa
- 7.1 Proprietà dell'esponenziale complesso
- 7.2 Funzione logaritmo complessa
8 Matrici ed algebra di Banach
9 Sulle algebre di Lie
10 Doppia funzione esponenziale
11 Voci correlate
12 Altri progetti
13 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione grafica

La funzione esponenziale è quasi piatta (crescendo lentamente) per x negativo, e cresce velocemente per x positivo.

Per i non esperti del formalismo matematico si può dire che un andamento esponenziale di tipo crescente o decrescente si può costruire numericamente su un diagramma cartesiano fissando un valore qualunque (positivo per semplicità) ed aggiungendo o togliendo sempre la stessa percentuale dell'ultimo risultato ottenuto partendo dal valore prefissato avendo quantizzato l'asse X a passi uguali per ognuna di queste operazioni. Viene solitamente indicata come $exp(x)\;$ oppure $e^x\;$ , dove $e\;$ rappresenta la base del logaritmo naturale.

Come funzione della variabile reale x, e^x è sempre positivo (sopra l'asse x) e crescente. Non tocca mai l'asse x, sebbene giunga arbitrariamente vicino ad esso (in altri termini il semiasse negativo dell'asse x è un asintoto orizzontale al grafico). La sua funzione inversa, il logaritmo naturale, ln(x), è definita per tutti gli x positivi.

[modifica] Definizione formale

La funzione esponenziale $e x$ può essere definita in due modi equivalenti, come limite di una successione:

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n\,\,\,(1)$

o come somma della serie:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots\,\,\,(2)$

dove n! è il fattoriale di n e la Σ indica una sommatoria. Più in generale, data una matrice quadrata A m × m:

$e^A = \sum_{n = 0}^{\infty} {A^n \over n!} = I + A + {A^2 \over 2!} + {A^3 \over 3!} + {A^4 \over 4!} + \cdots$

dove I è la matrice identica m per m e Aⁿ è l'elevamento a potenza della matrice A.

Per approfondire, vedi la voce Matrice esponenziale.

[modifica] Equivalenza delle definizioni

Le definizioni (1) e (2) coincidono, in quanto presa la sequenza $\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n$ e sviluppandone il binomio si ha in forza del teorema binomiale

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{n-k} {{x^k} \over {n^k}} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}{{x^k} \over {n^k}}$

ove $\ {n \choose k} = \ {n! \over k!(n-k)!} = { \prod_{h=0}^{k-1} {n-h} \over k!}$

e, di conseguenza

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}{{x^k} \over {n^k}} = \sum_{k=0}^{n} { \prod_{h=0}^{k-1} {n-h} \over {n^k}} {{x^k} \over {k!}}$

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ {{n-0} \over {n}} {{n-1} \over {n}} {{n-2} \over {n}} ... {{n-(k-1)} \over {n}} \right]$

$\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]$

Prendendo ora il limite per $\ n \to \infty$ si ha che

$\ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]$

ove per ogni addendo della sommatoria il fattore $\ \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]$ tende ad 1.

Inoltre il passaggio al limite trasforma la serie in una serie infinita

$\ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} = \sum_{k=0}^{\infty} {{x^k} \over {k!}}$

da cui discende che

$\ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} {{x^k} \over {k!}}$

In queste definizioni, $n!$ indica il fattoriale di n, e x può essere qualsiasi numero reale o complesso, o elemento di un'algebra di Banach (per esempio una matrice quadrata), o un membro del campo dei numeri p-adici.

[modifica] Derivata della funzione esponenziale

Dalla definizione (2) è immediato dimostrare la proprietà fondamentale della funzione esponenziale

${d e^x \over dx} = {d \over dx} \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} {n x^{n-1} \over n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} {n x^{n-1} \over n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} {x^{n-1} \over (n-1)!} = \sum_{l = 0}^{\infty} {x^l \over l!} = e^x$

[modifica] Funzione esponenziale e potenze

Grafico delle funzioni a^x per tre diverse basi

È possibile dimostrare che per ogni numero razionale $q$ la funzione esponenziale $e q$ assume il valore della potenza $q$ -esima di $e$ . E questo giustifica il fatto che funzione esponenziale e potenza vengono indicate nello stesso modo.

Più in generale è possibile affermare che la funzione esponenziale in base a (con $a$ numero reale), definita come

a x = e x ln a

(dove $ln a$ è il logaritmo naturale di $a$ ) assume in ogni $q$ razionale il valore della potenza $q$ -esima di a. E ciò porta a considerare la funzione esponenziale come l'estensione in campo reale del concetto di potenza.

[modifica] Proprietà

Le funzioni esponenziali godono delle seguenti proprietà:

a 0 = 1

a 1 = a

a x + y = a x a y

$\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

${1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}$

a x b x = (a b) x

Esse sono valide per tutti i numeri reali positivi a e b e tutti i numeri reali x ed y. Le espressioni contenenti frazioni e radici possono spesso essere semplificate utilizzando la notazione esponenziale perché:

${1 \over a} = a^{-1}$

e, per ogni a e b numeri reali con a > 0, e per ogni intero n > 1:

$\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}$

[modifica] Importanza della funzione esponenziale (derivata)

L'uguaglianza tra la funzione esponenziale e la sua derivata,

${d \over dx} e^x = e^x$

(proprietà non condivisa da nessun'altra funzione reale di variabile reale, che quindi si può utilizzare anche come definizione) fa sì che la la funzione f(x) = e^x e le funzioni da essa composte risolvano tutta una classe di equazioni differenziali che esprimono in termini matematici i più importanti problemi fisici. In particolare questo accade quando il tasso di crescita (o di diminuzione) di una grandezza è proporzionale alla sua dimensione — come nel caso della crescita illimitata della popolazione (vedi catastrofe malthusiana), di interesse composto continuamente, o di decadimento radioattivo — allora si può scrivere la variabile come prodotto di una costante per la funzione esponenziale del tempo.

In effetti molte equazioni differenziali danno origine a funzioni esponenziali, comprese l'equazione di Schrödinger e l'equazione di Laplace, come pure le equazioni per il moto armonico semplice.

In generale dunque l'andamento esponenziale è piuttosto diffuso nei fenomeni fisici, praticamente sempre presente nei sistemi o fenomeni fisici tipicamente reali di tipo dissipativo nel descrivere il fattore d'attenuazione nella propagazione o in generale nella loro dinamica.

[modifica] Esempio fisico di funzione esponenziale

Un esempio semplice è quello di un oggetto lanciato ad una velocità v₀ in un mezzo viscoso. Se supponiamo che la resistenza posta dal mezzo all'avanzamento dell'oggetto sia proporzionale alla velocità v di quest'ultimo:

$\emph{F=-kv}$

si ha una relazione tra la velocità e la sua variazione nel tempo (l'accelerazione a):

$\emph{ma = -k v}$

ovvero

$m \frac{dv}{dt} = -k v$

È possibile dimostrare che la soluzione di questa equazione è:

$v(t) = v_0 e^{-t/\tau} = v_0 e^{-t/\frac{m}{k}}$

Nel caso di un proiettile sparato nell'aria sarebbe più corretto supporre che la resistenza sia proporzionale al quadrato della velocità, cionondimeno l'andamento della velocità nel tempo è descritto da una funzione formata a partire dalla costante matematica $\emph{e}$ .

[modifica] Formulazioni equivalenti

Formulazioni equivalenti di questa proprietà sono:

La pendenza del grafico in ogni punto è uguale all'altezza del grafico in quel punto.
Il tasso di crescita della funzione in x è uguale al valore della funzione in quel punto.
La funzione risolve l'equazione differenziale y′ = y.

Per quanto riguarda le funzioni esponenziali di altre basi:

${d \over dx} a^x = (\ln a) a^x$

Dunque qualunque funzione esponenziale è pari ad un multiplo costante della sua derivata.

[modifica] Calcolo numerico

Per ottenere un'approssimazione numerica della funzione esponenziale, si può scrivere la serie infinita come segue:

$e^x=\frac{1}{0!}+x\left(\frac{1}{1!}+x\left(\frac{1}{2!}+x\left(\frac{1}{3!}+x\left(\frac{1}{4!}+x\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)$

Questa espressione converge rapidamente se x è minore di 1.

In caso contrario, è possibile utilizzare la seguente identità:

$e^x = e^{z+f} = e^z \cdot \left[\frac{1}{0!}+f\left(\frac{1}{1!}+f\left(\frac{1}{2!}+ f\left(\frac{1}{3!}+f\left(\frac{1}{4!}+f\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right]$

dove z = int(x), la parte intera di x;
f = x - z;
di conseguenza, z è un numero intero e f è un numero reale minore di 1.

[modifica] Funzione esponenziale complessa

Poiché il campo dei numeri complessi è la naturale estensione dei numeri reali, dacché li contiene, è possibile estendere ai numeri complessi la funzione esponenziale, utilizzando la definizione (1) o equivalentemente (2) sostituendo z (numero complesso) a x (numero reale).

La Formula di Eulero fornisce una importante proprietà della funzione esponenziale in campo complesso:

e z = e x (cos y + i sin y)

dove $e x = f (x + i 0)$ è la parte reale che coincide con la funzione esponenziale reale; y rappresenta sempre l'angolo espresso in radianti.

L'esponenziale complesso è una funzione olomorfa, periodica con periodo immaginario $2π i$ . La definizione mette in relazione la funzione esponenziale alle funzioni trigonometriche e a quelle iperboliche (vedi anche la formula di Eulero).

Si può definire anche l'esponenziale complesso per $z=\frac {1}{n}$ , cioè la funzione:

$\sqrt[n]{e}$

intendendola come positiva.

[modifica] Proprietà dell'esponenziale complesso

$\!\, e^z = e^x \cdot e^{iy} = r \cdot e^{i\theta}$ ;

$e i y = cos y + i sin y$ ;

$| e z | = e x = r$ ;

$\arg(e^z)=y + 2k\pi$ ; dove $k$ ∈ $Z .$ ;

$\left (e^{z_1}\right) \left(e^{z_2}\right)= e^{z_1+z_2}$ ;

$\frac {e^{z_1}} {e^{z_2}} = e^{z_1 - z_2}$

$\left (e^z \right)^n = e^{nz}$ ; dove $n \in Z.$

$e 0 = 1$

$e^z \ne 0$

${d \over dz} e^z = e^z$

$e i π k = e - i π k = ( - 1) k$

[modifica] Funzione logaritmo complessa

Per approfondire, vedi la voce Logaritmo complesso.

Estendere la definizione di logaritmo naturale a valori complessi porta ad una funzione polidroma, ln(z). A questo punto è possibile definire un'esponenziazione più generale:

$\!\, z^w = e^{w \ln z}$

per tutti i numeri complessi z e w; ovviamente, anche questa è una funzione polidroma. Le leggi esponenziali sopracitate rimangono valide se interpretate propriamente come affermazioni sulle funzioni polidrome.

La funzione esponenziale mappa ogni retta nel piano complesso in una spirale logaritmica con centro nell'origine. Ciò si può vedere osservando che il caso di una retta parallela all'asse reale o immaginario viene mappata ad una retta o un cerchio.

[modifica] Matrici ed algebra di Banach

La definizione di funzione esponenziale data sopra può essere direttamente utilizzata per ogni algebra di Banach, e in particolare per le matrici quadrate. In questo caso abbiamo

e x + y = e x e y se x y = y x

e 0 = 1

e^x è invertibile, e il suo inverso è uguale a e^−x

Inoltre, la derivata di exp(x) nel punto x è quella mappa lineare che manda u in u · e^x.

Nell'ambito delle algebre di Banach non commutative, come le algebre di matrici o operatori nello spazio di Banach o nello spazio di Hilbert, la funzione esponenziale è spesso considerata come una funzione di argomento reale:

f (t) = e t A

dove A è un elemento dell'algebra fissato e t è un qualsiasi numero reale. Questa funzione possiede alcune importanti proprietà:

f (s + t) = f (s) f (t)

f (0) = 1

f'(t) = A f (t)

[modifica] Sulle algebre di Lie

La "mappa esponenziale" che manda un'algebra di Lie nel gruppo di Lie che dà origine ad essa possiede le proprietà dette sopra, e ciò giustifica la terminologia. Infatti, poiché R è l'algebra di Lie del gruppo di Lie di tutti i numeri reali positivi con la somma, l'ordinaria funzione esponenziale di argomenti reali è un caso speciale della situazione dell'algebra di Lie. Analogamente, poiché l'algebra di Lie M(n, R) di tutte le matrici quadrate appartiene al gruppo di Lie di tutte le matrici quadrate invertibili, la funzione esponenziale per le matrici quadrate è un caso speciale dell'algebra di Lie mappa esponenziale.

[modifica] Doppia funzione esponenziale

Il termine doppia funzione esponenziale può avere due significati:

una funzione con due termini esponenziali, con esponenti diversi
una funzione $f(x)=a^{a^x}$ ; la quale cresce perfino più velocemente di una funzione esponenziale;per esempio, se $a = 10$ :